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・スタートからゴールまで７マスのすごろくがある。
目が余ったら戻るとき、ゴールまでにサイコロを振る回数の期待値は？
答え：７回
１回目に振ることで、残りマス数は１～６になる。
これ以降、サイコロを振るごとに1/6の確率でゴールするので、期待値は６回。
計７回。（ここまで）

・10^30÷1002の小数点以下を四捨五入したとき、下３桁を求めよ
（元ネタは数検１級１次。四捨五入せず１の位を問う）
※ただし数２の知識で解ける
答え：４８９
x^10をx+2で割った余りは、因数定理より(-2)^10＝1024
x＝1000を代入し、10^30÷1002の余りは22。
よって小数点以下は切り捨てられ、四捨五入の結果は
（10^30-22）÷1002と一致する。
割られる数の下４桁は9978となり、商をXとすると
1002*X＝……9978　となることから、Xの下３桁が定まる。（ここまで）

・五角形の５辺と５対角線の計１０本の線分から、ランダムに４本選ぶとき、５頂点がすべてつながる（※）確率を求めよ
※任意の頂点から、選ばれた線分だけを通って、任意の頂点へ移動できるということ
（元ネタは数検１級１次そのまま）
答え：25/42
ある頂点から出ている線分の数で場合分け
41111…5×1通り
32111…5C2×3通り（1のどれが2とつながるか）
22211…5C2×6通り（２つの1がどの2とつながるか）
以上を、線分の選び方の総数10C4で割ればよい。（ここまで）

・１０数の積と和が等しくるなるような自然数組をすべて求めよ
a1≧a2≧…≧a10とし　――(1)
a1+a2+…+a10＝a1*a2*…*a10　――(2)
両辺 a1*a2*…*a10 で割り
1/(a2*a3*…*a10)＋…＝1
左辺は(1)より第１項≧第２項≧…なので
1/(a2*a3*…*a10)≧1/10
つまり
a2*a3*…*a10≦10　――(3)
因数の関係からa5～a10は1
a4＝2とすると(1)(3)よりa2＝a3＝2となるが
(2)より8*a1＝a1+12となり不適。よってa4＝1
a3＝3とすると(1)(3)よりa2＝3となるが
(2)より9*a1＝a1+15となり不適。
a3＝2とすると(1)(3)よりa2は2～5となるが
(2)より2*a1*a2＝a1+a2+9
a1*(2*a2-1)＝a2+9　となりいずれも不適。よってa3＝1
以上より
a1*a2＝a1+a2+8
(a1-1)*(a2-1)＝9
(a1,a2)＝(4,4),(10,2)
求める自然数組は
(10,2,1,1,1,1,1,1,1,1)
(4,4,1,1,1,1,1,1,1,1)　（ここまで）
ちなみに、n個の数では
(n,2,1,1,…,1)が必ず条件を満たす。

・[√2*n]*[√2*n+1]＝2*n^2を満たす自然数nが無数に存在することを示せ
※[x]でxを超えない最大の整数を表す（ガウス記号）
ある自然数mについて
m*(m+1)＝2*n^2　が成り立つならば
m＝[√2*n]と分かる。
よって問題は
m*(m+1)＝2*n^2 が成り立つ自然数組は無数に存在することを示せ、と読み替えられる。
（つまり「１～mまでの和が平方数になることがあるか？」ということ）
（１）(n,m)＝(1,1)は条件を満たす
（２）(n,m)＝(p,q)が条件を満たすならば(2p*(2q+1),8*p^2)も条件を満たす
（３）p＜2p*(2q+1)なので、この２組は異なる組である
よって条件を満たす自然数組は無数に存在する。（ここまで）
ただし、この方法ではたとえば(35,49)などは見つからない。

・次の３つの円が平面を７領域に分けるような正の数abの範囲を示せ
(x-1)^2 + y^2 ＝a^2
(x+1)^2 + y^2 ＝a^2
(x-b)^2 + (y-2b)^2 ＝a^2
解説略で答えだけ。
a＜1でなし。
a＝1のとき、b＜3/5（ただしb≠1/√5）
a＞1で、b＝(-1+2*√(5a^2-1))/5、(2√(a^2-1)+√(4a^2+1))/5
（ただしa≠√2） （ここまで）
grapesなどで実際に動かしていくとわかりやすい。

・サイクロイドは接線が両軸によって切り取られる長さが一定
双曲線は接線が両軸によって切り取られる面積が一定