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●行列の話
パスカルの三角形を左に傾けたような
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1
みたいな下三角行列を考える。
この逆行列は
　1　0　0　0　0
-1　 1　0　0　0
　1 -2　1　0　0
-1　 3 -3　1　0
　1 -4　6 -4　1
というように、１つおきにマイナスをつけたものになる。

着想元：食玩問題を行列を使って考えたらどうなるかと。
・全n種類のものを、k回目終了の時点でx種類集められている確率をP(x,k)とすると、
漸化式を考えることで、縦ベクトル　P(k)＝（P(n,k)　P(n-1,k)　…　P(1,k)）に対し
kに依存しないあるn次正方行列Xのが存在して　P(k+1)＝XP(k)　をみたす、と分かる。
・例えば、n＝5ならXは
5 1 0 0 0
0 4 2 0 0
0 0 3 3 0
0 0 0 2 4
0 0 0 0 1　の1/5倍となる。
・ここで、X^nが求まれば、P(n,k)がnとkで与えられるので、nを固定したとき
Q(k)＝P(n,k)－P(n,k-1)　とすれば、コンプまで平均回数は
ΣkQ(k)で求められる。
・ではX^nを求めるにあたって(P^-1)(X^n)Pが対角行列となるようなPを計算していたら、これが冒頭に話題になったパスカル三角形の上三角行列。
（上では説明しやすいように下三角にしたが、実際はその転置だったということ）
・で、この逆行列を計算していたら先のような発見に至った、と。


●"一様"の話
ベルトランの逆説
wikipediaよりもニコニコ大百科のほうが初見ではわかりやすい。
「最大無知の原則」による考えというのが面白かった。この考え方はこんな感じ。
・平面上に円を固定する。そして直線をランダムに引くことを考える。
・円と直線に２共有点ができたときのみを考える。
（書き方はぜんぜん違うが、言ってる中身はこういうことのはず）
「円がどこにあるか、とか、どんな大きさか、とか与えられてねーじゃん」という理屈。

初見では1/3だと思ったのだけど、一口に"一様"といっても、いろんな一様なとり方があるのだなーと。
この話の中身そのものより、存在に気づかなかったのは頭が硬いなと。