自作虫食い算を手計算で解く
以前虫食い算にはまっていた時にいろいろ自作したのだけど、それらの内、紙と鉛筆だけで立ち向かえるであろう２ケタ÷２ケタの問題を解説しておこうと思う。
解答だけはこっち：２ケタ÷２ケタの答え
３ケタ÷３ケタの問題は自分でも、紙と鉛筆だけで立ち向かえる自信はない。
解答だけはこっち：２ケタ÷２ケタの答え
３ケタ÷３ケタの問題は自分でも、紙と鉛筆だけで立ち向かえる自信はない。
悔しい
解けなくて悔しかったので、ここに書く。
ノート持ち込み可の数学の演習で解けないのはダメだと思うの。
（武器は手元にあるのだから、それをどう使うかという、暗記力の関わらない純粋な知力が問われる）
問
Xをコンパクト空間、Rをユークリッド位相を持つ数直線とする。
射影p:X×R→R、p(x,y)=y は閉写像であることを示せ。
閉写像とは、閉集合を閉集合へ移す写像のことである。
解答
X×Rの閉集合Aを任意に取る。
p(A)内の収束点列{xi}を任意に取る。
ただし、"収束"はR上でのものとし、極限が必ずしもp(A)の元になるとは限らないとする。
１．点列が収束するので、ある有界閉区間Y⊂Rが存在して、{xi}⊂Y
２．ユークリッド空間Rにおいて、有開閉⇒コンパクト、よりYはコンパクト
３．コンパクト集合の直積はコンパクトなのでX×Yはコンパクト
４．コンパクト集合の部分集合である閉集合はコンパクトなのでAはコンパクト
５．コンパクト集合の積はコンパクトなのでB：=A∩(X×Y)はコンパクト
６．定義より{xi}⊂p(X×Y)=Y かつ {xi}⊂p(A) なので {xi}⊂p(B)
７．射影は連続写像である
８．連続写像はコンパクト性を保つ
９．Bはコンパクトなのでp(B)はコンパクト
１０．距離空間Rにおいて、コンパクト⇒有界閉、よりp(B)は有界閉
１１．p(B)は有界閉なのでp(B)の収束点列{xi}の極限αはp(B)の元
１２．定義より明らかにB⊂Aでありp(B)⊂p(A) よってα∈p(A)
以上より、p(A)内の任意の収束点列の極限がp(A)の元となるので、p(A)は閉集合。
(証明終)
１つ１つの推論は自明に近い（自明でないものはノートに書いてある）のに、それらの積み重ねができないっていうのは非常にまずい。
「公式は覚えてるけど問題は解けない」って次元じゃない。「参考書見てるのに問題が解けない」って次元。
勉強しないとだめだね。
ノート持ち込み可の数学の演習で解けないのはダメだと思うの。
（武器は手元にあるのだから、それをどう使うかという、暗記力の関わらない純粋な知力が問われる）
問
Xをコンパクト空間、Rをユークリッド位相を持つ数直線とする。
射影p:X×R→R、p(x,y)=y は閉写像であることを示せ。
閉写像とは、閉集合を閉集合へ移す写像のことである。
解答
X×Rの閉集合Aを任意に取る。
p(A)内の収束点列{xi}を任意に取る。
ただし、"収束"はR上でのものとし、極限が必ずしもp(A)の元になるとは限らないとする。
１．点列が収束するので、ある有界閉区間Y⊂Rが存在して、{xi}⊂Y
２．ユークリッド空間Rにおいて、有開閉⇒コンパクト、よりYはコンパクト
３．コンパクト集合の直積はコンパクトなのでX×Yはコンパクト
４．コンパクト集合の部分集合である閉集合はコンパクトなのでAはコンパクト
５．コンパクト集合の積はコンパクトなのでB：=A∩(X×Y)はコンパクト
６．定義より{xi}⊂p(X×Y)=Y かつ {xi}⊂p(A) なので {xi}⊂p(B)
７．射影は連続写像である
８．連続写像はコンパクト性を保つ
９．Bはコンパクトなのでp(B)はコンパクト
１０．距離空間Rにおいて、コンパクト⇒有界閉、よりp(B)は有界閉
１１．p(B)は有界閉なのでp(B)の収束点列{xi}の極限αはp(B)の元
１２．定義より明らかにB⊂Aでありp(B)⊂p(A) よってα∈p(A)
以上より、p(A)内の任意の収束点列の極限がp(A)の元となるので、p(A)は閉集合。
(証明終)
１つ１つの推論は自明に近い（自明でないものはノートに書いてある）のに、それらの積み重ねができないっていうのは非常にまずい。
「公式は覚えてるけど問題は解けない」って次元じゃない。「参考書見てるのに問題が解けない」って次元。
勉強しないとだめだね。
キュービリオン 問題
問題の前に。
ステージ選択画面のBGMが好きだったので、ちょちょいと調べた。
・・ラードーラソ/ーレミソラソﾚﾐレ/ド・・ドシドレラ/ソーソド・ドﾚ#ﾌｧ
ソーﾌｧソーファ・/ファﾚ#ファレ＃※/ソｿ#ソｿ#ソーﾌｧフ/ァソレ＃・ミﾚﾄシ
※＝ﾚ#ﾌｧの半分
１文字の幅で８分音符。「ファ」は全角だと４分。BPM150。
以下本題
＝＝＝＝＝＝＝＝
問題
４３０３４
３０３０３
０３０３０
３０３０３
４３０３４
フィールドの大きさはGB準拠で縦９×横１０。余白の取り方は自由でいいです。
おまけ問題：図中に９マスある０のうち、１つ以上を３に換えると解けないことを示せ
想定解は以下
ステージ選択画面のBGMが好きだったので、ちょちょいと調べた。
・・ラードーラソ/ーレミソラソﾚﾐレ/ド・・ドシドレラ/ソーソド・ドﾚ#ﾌｧ
ソーﾌｧソーファ・/ファﾚ#ファレ＃※/ソｿ#ソｿ#ソーﾌｧフ/ァソレ＃・ミﾚﾄシ
※＝ﾚ#ﾌｧの半分
１文字の幅で８分音符。「ファ」は全角だと４分。BPM150。
以下本題
＝＝＝＝＝＝＝＝
問題
４３０３４
３０３０３
０３０３０
３０３０３
４３０３４
フィールドの大きさはGB準拠で縦９×横１０。余白の取り方は自由でいいです。
おまけ問題：図中に９マスある０のうち、１つ以上を３に換えると解けないことを示せ
想定解は以下
ゲーム(06/24追記)
「キュービリオン」というゲームボーイのゲームが面白い。
ルールはここをちら見してから、こちらのサイトで実際にプレイしてみるとわかりやすい。
ざっくりルールをまとめるとこんな感じ
○ルール
「高さの概念がある倉庫番っぽいゲーム」とひとまず認識するとよい
目的は全てのマスの高さを１以下にすること
・床の高さは０。数字のマスはそのマスの高さ＝積まれた荷物の数を表す
・プレイヤーはどんな高さの荷物の上でも登ることができる
・プレイヤーは荷物を「１つだけ」蹴り飛ばせる（※）
荷物が動いてもプレイヤーの位置は動かない
・蹴った荷物は下まで落ちる（※）
※具体的には
→１０ 押せて「０１」になる
→１１０ 押せない
→２０ 押せない
→１２０ １の上にのれば２が押せて「１１１」になる
→１２１１ １の上にのれば２が押せて「１１２１」になる
→１２２０ 押せない
→１３０ 押せない
→２３０ ２の上にのれば３が押せて「２２１」になる
ということで２つほど自作問
フィールドは十分広いものとする
問１：
１２３
２０２
３２４
問２：最短移動距離を求めよ
０１０
１３２
０２０
スタート地点は左上の０
上記サイトで実際に動かしながら考えることができる。
LEVEK EDITOR作った後、SINGLEPLAYER→MY LEVELSでプレイ可能
一応以下答え（自分が忘れそう）
ルールはここをちら見してから、こちらのサイトで実際にプレイしてみるとわかりやすい。
ざっくりルールをまとめるとこんな感じ
○ルール
「高さの概念がある倉庫番っぽいゲーム」とひとまず認識するとよい
目的は全てのマスの高さを１以下にすること
・床の高さは０。数字のマスはそのマスの高さ＝積まれた荷物の数を表す
・プレイヤーはどんな高さの荷物の上でも登ることができる
・プレイヤーは荷物を「１つだけ」蹴り飛ばせる（※）
荷物が動いてもプレイヤーの位置は動かない
・蹴った荷物は下まで落ちる（※）
※具体的には
→１０ 押せて「０１」になる
→１１０ 押せない
→２０ 押せない
→１２０ １の上にのれば２が押せて「１１１」になる
→１２１１ １の上にのれば２が押せて「１１２１」になる
→１２２０ 押せない
→１３０ 押せない
→２３０ ２の上にのれば３が押せて「２２１」になる
ということで２つほど自作問
フィールドは十分広いものとする
問１：
１２３
２０２
３２４
問２：最短移動距離を求めよ
０１０
１３２
０２０
スタート地点は左上の０
上記サイトで実際に動かしながら考えることができる。
LEVEK EDITOR作った後、SINGLEPLAYER→MY LEVELSでプレイ可能
一応以下答え（自分が忘れそう）
ぷよぷよ最大同時存在個数(06/23追記)
未解決→解決
６×８の中に、同じ色のぷよぷよは何個まで存在できるか？
※同じ色のぷよぷよは、４つ以上が塊になっていると消える
２８個の例（白い四角が２８個ある）
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２９個の不存在証明ができない
周の長さに注目すると良さそうだとは思い、かなりいいところまで行ったものの、詰めが甘くて証明が完了できなかった
(06/23追記)
頂いたコメントをもとに28が最大であることが証明出来ました
同日再追記：場合分けに漏れがあったため修正
６×８の中に、同じ色のぷよぷよは何個まで存在できるか？
※同じ色のぷよぷよは、４つ以上が塊になっていると消える
２８個の例（白い四角が２８個ある）
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２９個の不存在証明ができない
周の長さに注目すると良さそうだとは思い、かなりいいところまで行ったものの、詰めが甘くて証明が完了できなかった
(06/23追記)
頂いたコメントをもとに28が最大であることが証明出来ました
同日再追記：場合分けに漏れがあったため修正
