自作虫食い算を手計算で解く

以前虫食い算にはまっていた時にいろいろ自作したのだけど、それらの内、紙と鉛筆だけで立ち向かえるであろう2ケタ÷2ケタの問題を解説しておこうと思う。

解答だけはこっち:2ケタ÷2ケタの答え

3ケタ÷3ケタの問題は自分でも、紙と鉛筆だけで立ち向かえる自信はない。

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悔しい

解けなくて悔しかったので、ここに書く。
ノート持ち込み可の数学の演習で解けないのはダメだと思うの。
(武器は手元にあるのだから、それをどう使うかという、暗記力の関わらない純粋な知力が問われる)


Xをコンパクト空間、Rをユークリッド位相を持つ数直線とする。
射影p:X×R→R、p(x,y)=y は閉写像であることを示せ。
閉写像とは、閉集合を閉集合へ移す写像のことである。

解答
X×Rの閉集合Aを任意に取る。
p(A)内の収束点列{xi}を任意に取る。
ただし、"収束"はR上でのものとし、極限が必ずしもp(A)の元になるとは限らないとする。
1.点列が収束するので、ある有界閉区間Y⊂Rが存在して、{xi}⊂Y
2.ユークリッド空間Rにおいて、有開閉⇒コンパクト、よりYはコンパクト
3.コンパクト集合の直積はコンパクトなのでX×Yはコンパクト
4.コンパクト集合の部分集合である閉集合はコンパクトなのでAはコンパクト
5.コンパクト集合の積はコンパクトなのでB:=A∩(X×Y)はコンパクト
6.定義より{xi}⊂p(X×Y)=Y かつ {xi}⊂p(A) なので {xi}⊂p(B)
7.射影は連続写像である
8.連続写像はコンパクト性を保つ
9.Bはコンパクトなのでp(B)はコンパクト
10.距離空間Rにおいて、コンパクト⇒有界閉、よりp(B)は有界閉
11.p(B)は有界閉なのでp(B)の収束点列{xi}の極限αはp(B)の元
12.定義より明らかにB⊂Aでありp(B)⊂p(A) よってα∈p(A)
以上より、p(A)内の任意の収束点列の極限がp(A)の元となるので、p(A)は閉集合。
(証明終)

1つ1つの推論は自明に近い(自明でないものはノートに書いてある)のに、それらの積み重ねができないっていうのは非常にまずい。
「公式は覚えてるけど問題は解けない」って次元じゃない。「参考書見てるのに問題が解けない」って次元。

勉強しないとだめだね。

キュービリオン 問題

問題の前に。
ステージ選択画面のBGMが好きだったので、ちょちょいと調べた。

・・ラードーラソ/ーレミソラソレミレ/ド・・ドシドレラ/ソーソド・ドレ#ファ
ソーファソーファ・/ファレ#ファレ#※/ソソ#ソソ#ソーファフ/ァソレ#・ミレトシ
※=レ#ファの半分
1文字の幅で8分音符。「ファ」は全角だと4分。BPM150。

以下本題
========

問題

43034
30303
03030
30303
43034

フィールドの大きさはGB準拠で縦9×横10。余白の取り方は自由でいいです。

おまけ問題:図中に9マスある0のうち、1つ以上を3に換えると解けないことを示せ


想定解は以下

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ゲーム(06/24追記)

「キュービリオン」というゲームボーイのゲームが面白い。
ルールはここをちら見してから、こちらのサイトで実際にプレイしてみるとわかりやすい。

ざっくりルールをまとめるとこんな感じ
○ルール
「高さの概念がある倉庫番っぽいゲーム」とひとまず認識するとよい
目的は全てのマスの高さを1以下にすること
・床の高さは0。数字のマスはそのマスの高さ=積まれた荷物の数を表す
・プレイヤーはどんな高さの荷物の上でも登ることができる
・プレイヤーは荷物を「1つだけ」蹴り飛ばせる(※)
 荷物が動いてもプレイヤーの位置は動かない
・蹴った荷物は下まで落ちる(※)
※具体的には
→10   押せて「01」になる
→110  押せない
→20   押せない
→120  1の上にのれば2が押せて「111」になる
→1211 1の上にのれば2が押せて「1121」になる
→1220 押せない
→130  押せない
→230  2の上にのれば3が押せて「221」になる

ということで2つほど自作問
フィールドは十分広いものとする

問1:
123
202
324

問2:最短移動距離を求めよ
010
132
020
スタート地点は左上の0


上記サイトで実際に動かしながら考えることができる。
LEVEK EDITOR作った後、SINGLEPLAYER→MY LEVELSでプレイ可能

一応以下答え(自分が忘れそう)

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ぷよぷよ最大同時存在個数(06/23追記)

未解決→解決

6×8の中に、同じ色のぷよぷよは何個まで存在できるか?
※同じ色のぷよぷよは、4つ以上が塊になっていると消える

28個の例(白い四角が28個ある)
□□■□□■□□
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□□■□□■□□
□■□■□■■□
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■□■□□■□■
□■□■■□■□
□□■□□■□□

29個の不存在証明ができない
周の長さに注目すると良さそうだとは思い、かなりいいところまで行ったものの、詰めが甘くて証明が完了できなかった


(06/23追記)
頂いたコメントをもとに28が最大であることが証明出来ました
同日再追記:場合分けに漏れがあったため修正

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プロフィール

hide(ハイド)

Author:hide(ハイド)

○やりこみとか

DQMキャラバンハートRTA
3:57:15

(11年5月21日)

GB版DQM2
低レベルボス攻略

(14年5月6日)

ぱるメロ
旧曲10780pts %表
ツアー3628630
(12年3月~14年9月)

ポケモン不思議のダンジョン
赤の救助隊
RTA 2:49:59

(14年12月5日)

ポケモン不思議のダンジョン
赤の救助隊
状況再現ありRTA 2:26:36

(15年3月9日)

DQM系データ

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