行列
※この記事では、２×２行列
(a b)
(c d)
のことを[a b // c d]と表すことにする。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
講義室の机にこんな落書きを見つけた。
[1 a // 1 1]^n
計算してみたくなるよね？
n=2 [a+1 2a // 2 a+1]
n=3 [3a+1 a^2+3a // a+3 3a+1]
n=4 [a^2+6a+1 4a^2+4a // 4a+4 a^2+6a+1]
一般にnの式で求めたくなるよね？
ということで、何を思ったか漸化式で解こうとしたアホ。
昔勉強した固有値とか完全に頭から抜けてた。
A=[1 a // 1 1]とすると
A^n=[P_n a*Q_n //Q_n P_n]で与えられることが予想でき、実際に示せる。
これから
P_n+1＝P_n+a*Q_n
Q_n+1＝Q_n+P_n
とわかる。
上の式を下の式に繰り返し代入することにより
Q_n+1=1+Q_n+a*Σ[k=1～n-1](Q_k)
を得る。(n≧2)
漸化式が解けそうにないのでちょっと計算してみる。
（諸事情により昇べき）
Q_1＝1
Q_2＝2
Q_3＝3+ a
Q_4＝4+ 4a
Q_5＝5+10a+ a^2
Q_6＝6+20a+ 6a^2
Q_7＝7+35a+21a^2+a^3
定数項は分かりやすいが他は全くわからん。
……と放り投げようとしたその瞬間！
「あ！！ 1次の係数の1,4,10,20,35ってC(n,n-3)じゃん！！！！」
とひらめいた。
これに気づくと、定数項がC(n,n-1)と表せることはすぐ気付くので、2次がC(n,n-5)ということもすぐわかる。
ということで
Q_n＝Σ[k=0～floor((n-1)/2)](C(n,n-2k-1)*a^k)
となる。
同様に
P_1＝1
P_2＝1+ a
P_3＝1+ 3a
P_4＝1+ 6a+ a^2 から
Q_n＝Σ[k=0～floor(n/2)](C(n,n-2k)*a^k)
となる。
……ここまで計算した後で固有値からPAP^-1で対角化してn乗を求める方法を思い出す。
固有値λ＝1±√a
P＝[√a -√a // 1 1]として
PAP^-1＝[1+√a 0 // 0 1-√a]
A^n＝(P^-1)*(PAP^-1)^n*Pより
P_n＝((1+√a)^n+(1-√a)^n)/2
Q_n＝((1+√a)^n-(1-√a)^n)/2√a
n乗外すのがめんどくさかったからしてないけど、多分係数比べれば一致してるのが分かるはず。はず。
(a b)
(c d)
のことを[a b // c d]と表すことにする。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
講義室の机にこんな落書きを見つけた。
[1 a // 1 1]^n
計算してみたくなるよね？
n=2 [a+1 2a // 2 a+1]
n=3 [3a+1 a^2+3a // a+3 3a+1]
n=4 [a^2+6a+1 4a^2+4a // 4a+4 a^2+6a+1]
一般にnの式で求めたくなるよね？
ということで、何を思ったか漸化式で解こうとしたアホ。
昔勉強した固有値とか完全に頭から抜けてた。
A=[1 a // 1 1]とすると
A^n=[P_n a*Q_n //Q_n P_n]で与えられることが予想でき、実際に示せる。
これから
P_n+1＝P_n+a*Q_n
Q_n+1＝Q_n+P_n
とわかる。
上の式を下の式に繰り返し代入することにより
Q_n+1=1+Q_n+a*Σ[k=1～n-1](Q_k)
を得る。(n≧2)
漸化式が解けそうにないのでちょっと計算してみる。
（諸事情により昇べき）
Q_1＝1
Q_2＝2
Q_3＝3+ a
Q_4＝4+ 4a
Q_5＝5+10a+ a^2
Q_6＝6+20a+ 6a^2
Q_7＝7+35a+21a^2+a^3
定数項は分かりやすいが他は全くわからん。
……と放り投げようとしたその瞬間！
「あ！！ 1次の係数の1,4,10,20,35ってC(n,n-3)じゃん！！！！」
とひらめいた。
これに気づくと、定数項がC(n,n-1)と表せることはすぐ気付くので、2次がC(n,n-5)ということもすぐわかる。
ということで
Q_n＝Σ[k=0～floor((n-1)/2)](C(n,n-2k-1)*a^k)
となる。
同様に
P_1＝1
P_2＝1+ a
P_3＝1+ 3a
P_4＝1+ 6a+ a^2 から
Q_n＝Σ[k=0～floor(n/2)](C(n,n-2k)*a^k)
となる。
……ここまで計算した後で固有値からPAP^-1で対角化してn乗を求める方法を思い出す。
固有値λ＝1±√a
P＝[√a -√a // 1 1]として
PAP^-1＝[1+√a 0 // 0 1-√a]
A^n＝(P^-1)*(PAP^-1)^n*Pより
P_n＝((1+√a)^n+(1-√a)^n)/2
Q_n＝((1+√a)^n-(1-√a)^n)/2√a
n乗外すのがめんどくさかったからしてないけど、多分係数比べれば一致してるのが分かるはず。はず。
十四日午後三時半
もともとは、同級生の女の子たちが6人か7人かで集まって、内輪で楽しむだけの同人誌的なものを作ってたらしいんだけど、途中から知り合いも巻き込んでいって、最終的に確か高２の春（？）あたりで、みんな忙しくなってきたし最終号にしようということになって、声がかかったのでそこにこっそり乗せた文章。
テーマは「water」なんだけど、実際にはその前の「バレンタイン号」を目指して作ってた文章なので、そんな感じ。
つまり２年半くらい前に作ったもの、ということになるみたい。
今更な気もするけれど、当時はブログばれを恐れてここに文章を載せていなかったようなので、今更だけど置いといてみる。
今の自分には、もうこんなのはかけないよなーという感じ。
ということで以下本編
非リア高校生の妄想文章なのでその辺はお察し。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
テーマは「water」なんだけど、実際にはその前の「バレンタイン号」を目指して作ってた文章なので、そんな感じ。
つまり２年半くらい前に作ったもの、ということになるみたい。
今更な気もするけれど、当時はブログばれを恐れてここに文章を載せていなかったようなので、今更だけど置いといてみる。
今の自分には、もうこんなのはかけないよなーという感じ。
ということで以下本編
非リア高校生の妄想文章なのでその辺はお察し。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
感想
推定少女（角川文庫版）
３年くらい前にファミ通文庫版は読んでいたものの、こちらには、そちらで没になった２つのエンディングを同時収録し、３種類のマルチエンディングになっているということだったので、改めて読んでみた。
ED2がファミ通文庫版の結末。
・わかりやすい言葉でまとめてしまえば、思春期特有の「おとな」と「こども」で揺れる話
・３つのEDがあって初めて完成する物語
ED1の「子供のままでいる」エンディング
ED2のいろいろ抱えながらも生きていくエンディング
ED3の「大人になってしまった」エンディング
・とくにED2とED3のラスト２行の対比がとても効いてる。
（以下引用）
ED2
「あのドールをずっと持っていようと思う。
それは遠い未来、ぼくがかつてぼくだったことの証となるからだ」
ED3
「あのドールはまだ持っている。
かつてぼくがぼくだった唯一の証だからだ」
（引用終わり）
・一番好きなエンディングは…
決められないｗ
一番きれいに見えるのはED1なんだけど、千晴がほったらかしの点だけがいただけない。
ED2が一番普通
一番丸く収まってるだけに、ちょっと物足りない感がする。
これはED3とセットで見てこそ真価が見えるものだと思う。
ED3のP303
「それ以来白雪には逢っていない。
誰か別の子が逢っているのかもしれない。白雪を必要とするべつの中学生が」
出来事が"過去"のもとのとなってしまったことの明示。ほろ苦い
残念ながらまだまだ思春期真っ只中な俺であった。終わり
３年くらい前にファミ通文庫版は読んでいたものの、こちらには、そちらで没になった２つのエンディングを同時収録し、３種類のマルチエンディングになっているということだったので、改めて読んでみた。
ED2がファミ通文庫版の結末。
・わかりやすい言葉でまとめてしまえば、思春期特有の「おとな」と「こども」で揺れる話
・３つのEDがあって初めて完成する物語
ED1の「子供のままでいる」エンディング
ED2のいろいろ抱えながらも生きていくエンディング
ED3の「大人になってしまった」エンディング
・とくにED2とED3のラスト２行の対比がとても効いてる。
（以下引用）
ED2
「あのドールをずっと持っていようと思う。
それは遠い未来、ぼくがかつてぼくだったことの証となるからだ」
ED3
「あのドールはまだ持っている。
かつてぼくがぼくだった唯一の証だからだ」
（引用終わり）
・一番好きなエンディングは…
決められないｗ
一番きれいに見えるのはED1なんだけど、千晴がほったらかしの点だけがいただけない。
ED2が一番普通
一番丸く収まってるだけに、ちょっと物足りない感がする。
これはED3とセットで見てこそ真価が見えるものだと思う。
ED3のP303
「それ以来白雪には逢っていない。
誰か別の子が逢っているのかもしれない。白雪を必要とするべつの中学生が」
出来事が"過去"のもとのとなってしまったことの明示。ほろ苦い
残念ながらまだまだ思春期真っ只中な俺であった。終わり
偏りあり食玩問題(2014/09/23追記)
食玩問題、というのは例えば
開けてみるまで中身が分からない「全６種類」の食玩をすべて集めるには平均何個買えばよいか？
という問題のこと。
まず偏りがない場合。
いろいろやり方はあるみたいだけど、個人的にはこれが一番わかりやすい。
数学ガールにも、何巻だったか忘れたが同じ説明が書いてあったような気がする。
全n種類とする
・１回目で１種類目を手に入れる
・２回目以降、２種類目を手に入れられる確率は(n-1)/n。
よって１種類目を手に入れてから２種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-1)回。
・２種類目を手に入れて以降、３種類目を手に入れられる確率は(n-2)/n。
よって２種類目を手に入れてから３種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-2)回。
・同様にk種類目までそろえた後、k+1種類目を手に入れられる確率は(n-k)/n。
よってk種類目をてにいれてたらk+1種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-k)。
（これはk＝0でも成立）
つまり求める確率は
Σ[k=0～n-1]｛n/(n-k)｝
＝Σ[k=1～n]｛n/k｝
では偏りありの場合は？
開けてみるまで中身が分からない「全６種類」の食玩をすべて集めるには平均何個買えばよいか？
という問題のこと。
まず偏りがない場合。
いろいろやり方はあるみたいだけど、個人的にはこれが一番わかりやすい。
数学ガールにも、何巻だったか忘れたが同じ説明が書いてあったような気がする。
全n種類とする
・１回目で１種類目を手に入れる
・２回目以降、２種類目を手に入れられる確率は(n-1)/n。
よって１種類目を手に入れてから２種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-1)回。
・２種類目を手に入れて以降、３種類目を手に入れられる確率は(n-2)/n。
よって２種類目を手に入れてから３種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-2)回。
・同様にk種類目までそろえた後、k+1種類目を手に入れられる確率は(n-k)/n。
よってk種類目をてにいれてたらk+1種類目を手に入れるまでの期待値はn/(n-k)。
（これはk＝0でも成立）
つまり求める確率は
Σ[k=0～n-1]｛n/(n-k)｝
＝Σ[k=1～n]｛n/k｝
では偏りありの場合は？
ぱるメロ 既存全赤達成！
６月１３日。ぱるメロ歴約１年４か月でついにLoVフラを倒した！！
1383perfect13good4抜きの98.8％！
達成当時の％表はこちら
10010098100 10010098 99 9896
100100100100 10010010099 96
100100100100 100100100100 99
10010099100 10010098 100 99
10099100100 99 99 99 99 98
10099100100 99 98 99 99 9497
100100100100 10099 10099 9599
100100100100 100100100100 9999
10099 10098 10099 99 98 97
こうしてみるとSORNOVに青がほしくなるｗ
以下、その後達成した100を２つ
1383perfect13good4抜きの98.8％！
達成当時の％表はこちら
10010098100 10010098 99 9896
100100100100 10010010099 96
100100100100 100100100100 99
10010099100 10010098 100 99
10099100100 99 99 99 99 98
10099100100 99 98 99 99 9497
100100100100 10099 10099 9599
100100100100 100100100100 9999
10099 10098 10099 99 98 97
こうしてみるとSORNOVに青がほしくなるｗ
以下、その後達成した100を２つ
